对数的学习 & 对数函数

tonyfang posted @ 2015年8月21日 19:28 in math with tags math , 969 阅读

我们来学习学习对数啦,恶补高一内容啦。

$log_{a}N=x$等同于$a^{x}=N$。

那么有以下几个性质:

1. $a^{log_{a}N}=N$,将上面的两个等式代入即可证。

2.$log_{a}a=1$,因为$a^{1}=a$,即可证。

3.$log_{a}MN=log_{a}M+log_{a}N$

$M=a^{p},N=a^{q},MN=a^{p+q},log_{a}MN=p+q=log_{a}M+log_{a}N$

4. $log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M-log_{a}N$

$M=a^{p},N=a^{q},\frac{M}{N}=a^{p-q}$

$log_{a}\frac{M}{N}=p-q=log_{a}M-log_{a}N$

5.$log_{a}M^{n}=nlog_{a}M$,应用公式3变形,$2log_{a}M=log_{a}M^{2}$,逐步推即可。

6.有名的换底公式!$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

推导:设$log_{c}b=M,log{c}a=N$,则$b=c^{M},a=c^{N}$,则可以应用公式5来变形。

$log_{a}b=log_{c^{N}}c^{M}=log_{c^{N}}(c^{N})^{\frac{M}{N}}$

(接上面)$=\frac{M}{N}log_{c}c=\frac{M}{N}=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

7.  $log_{a}b \times log_{b}a = 1$

换底公式得$log_a{b}\times log_{b}a=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\times \frac{log_c{a}}{log_{c}b}=1$。

8. $log_{a^N}M=\frac{log_{a}M}{N}$

$log_{a^N}M=\frac{log_{c}M}{log_{c}{a^N}}=\frac{log_{c}M}{Nlog_{c}a}=\frac{log_{a}M}{N}$

由此可见,换底公式十分神奇!

对数学习完了,我来归纳下。

对数即为指数逆,颠倒指数加$log$。

对数相加真数乘,对数相减真数除。

自己对数即是1,换底公式要牢记。

上面是真下面底,同加一个$log_{c}$。

其他公式由此推,这些公式要牢记。

运用这些可以计算很多比较复杂的式子啦

=======华丽的分割线===========

对数函数。

先来对数的定义:一般的,如果$a^x=N(a>0,a≠1)$,那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数,记作$x=log_{a}N$,读作$a$为底$N$的对数,其中$a$叫做底数,$N$叫做真数。

一般的,函数$y=log_{a}x(a>0,a≠1)$叫做对数函数。也就是说指数为因变量,底数为常数,幂为自变量的函数。(百度百科上反了)

其中$x$是自变量,定义域为$(0,+\infty)$,实际上是指数函数的反函数,可以表示成$x=a^{y}$。

 

对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】(via 百度百科)

这个地方百度百科还是讲良心的,讲的很不错,看这个就能懂了。

注意:负数和0没有对数。

1.定义域求解:复合函数时需要注意底数$a$需满足$a>0且a≠1$,定义域为$(0,+\infty)$。

2.值域,实数集$R$。

3.定点、零点:$(1,0)$,很明显$a^0=1$,所以图像过定点$(1,0)$;同时零点也是$x=1$。

4. 非奇非偶函数,无周期性,无对称性,无最值。

5. 单调性:$a>1$,定义域上增函数;$0<a<1$,定义域上减函数。

【例】求对数函数$y=log_{a}\frac{1+x}{1-x}$单调性。

$\frac{1+x}{1-x}>0$,所以$(x+1)(x-1)<0$,解得$-1<x<1$。

$y=log_{a}\frac{1+x}{1-x}=log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$

分类讨论:

$a>1$时,$log_{a}(1+x)$递增,$log_{a}(1-x)$递减,那么$log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$为增函数(增-减=增)

$0<a<1$时,$log_{a}(1+x)$递减,$log_{a}(1-x)$递增,那么$log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$为减函数(减-增=减)

 

WBCHSE Plus One Prev 说:
2022年8月22日 01:21

West Bengal Council of Higher Secondary Education (WBCHSE) was founded. This council is governed by the West Bengal state government. This council was created with the primary goal of improving education in the state of West Bengal, and it oversees, administers, and manages all secondary education in the region. The education that this council offers to the state's kids is of the highest calibre and is highly beneficial to them over the long term. WBCHSE Plus One Previous Paper 2023 Millions of students from the West Bengal state took part in the theory and practical portions of the West Bengal Board Class 11th exams, which were held from March through March of the preceding academic year.

e shram card 说:
2022年12月19日 17:32

The Central Government Administers initiatives for the social and economic development of the country's unorganized workers and laborers. The government has also made E Shram card download available to applicants as part of this effort, e shram card allowing them to download their labor card after applying. Here we will share you with all of the important information about the Downloading process online.


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