我们来学习学习对数啦，恶补高一内容啦。

$log_{a}N=x$等同于$a^{x}=N$。

那么有以下几个性质：

1. $a^{log_{a}N}=N$，将上面的两个等式代入即可证。

2.$log_{a}a=1$，因为$a^{1}=a$，即可证。

3.$log_{a}MN=log_{a}M+log_{a}N$

$M=a^{p},N=a^{q},MN=a^{p+q},log_{a}MN=p+q=log_{a}M+log_{a}N$

4. $log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M-log_{a}N$

$M=a^{p},N=a^{q},\frac{M}{N}=a^{p-q}$

$log_{a}\frac{M}{N}=p-q=log_{a}M-log_{a}N$

5.$log_{a}M^{n}=nlog_{a}M$，应用公式3变形，$2log_{a}M=log_{a}M^{2}$，逐步推即可。

6.有名的换底公式！$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

推导：设$log_{c}b=M,log{c}a=N$，则$b=c^{M},a=c^{N}$，则可以应用公式5来变形。

$log_{a}b=log_{c^{N}}c^{M}=log_{c^{N}}(c^{N})^{\frac{M}{N}}$

（接上面）$=\frac{M}{N}log_{c}c=\frac{M}{N}=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

7.  $log_{a}b \times log_{b}a = 1$

换底公式得$log_a{b}\times log_{b}a=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\times \frac{log_c{a}}{log_{c}b}=1$。

8. $log_{a^N}M=\frac{log_{a}M}{N}$

$log_{a^N}M=\frac{log_{c}M}{log_{c}{a^N}}=\frac{log_{c}M}{Nlog_{c}a}=\frac{log_{a}M}{N}$

由此可见，换底公式十分神奇！

对数学习完了，我来归纳下。

对数即为指数逆，颠倒指数加$log$。

对数相加真数乘，对数相减真数除。

自己对数即是1，换底公式要牢记。

上面是真下面底，同加一个$log_{c}$。

其他公式由此推，这些公式要牢记。

运用这些可以计算很多比较复杂的式子啦

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对数函数。

先来对数的定义：一般的，如果$a^x=N(a>0,a≠1)$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=log_{a}N$，读作$a$为底$N$的对数，其中$a$叫做底数，$N$叫做真数。

一般的，函数$y=log_{a}x(a>0,a≠1)$叫做对数函数。也就是说指数为因变量，底数为常数，幂为自变量的函数。（百度百科上反了）

其中$x$是自变量，定义域为$(0,+\infty)$，实际上是指数函数的反函数，可以表示成$x=a^{y}$。

对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】（via 百度百科）

这个地方百度百科还是讲良心的，讲的很不错，看这个就能懂了。

注意：负数和0没有对数。

1.定义域求解：复合函数时需要注意底数$a$需满足$a>0且a≠1$，定义域为$(0,+\infty)$。

2.值域，实数集$R$。

3.定点、零点：$(1,0)$，很明显$a^0=1$，所以图像过定点$(1,0)$；同时零点也是$x=1$。

4. 非奇非偶函数，无周期性，无对称性，无最值。

5. 单调性：$a>1$，定义域上增函数；$0<a<1$，定义域上减函数。

【例】求对数函数$y=log_{a}\frac{1+x}{1-x}$单调性。

$\frac{1+x}{1-x}>0$，所以$(x+1)(x-1)<0$，解得$-1<x<1$。

$y=log_{a}\frac{1+x}{1-x}=log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$

分类讨论：

$a>1$时，$log_{a}(1+x)$递增，$log_{a}(1-x)$递减，那么$log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$为增函数（增-减=增）

$0<a<1$时，$log_{a}(1+x)$递减，$log_{a}(1-x)$递增，那么$log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$为减函数（减-增=减）