对数的学习 & 对数函数

tonyfang posted @ 2015年8月21日 19:28 in math with tags math , 362 阅读

我们来学习学习对数啦,恶补高一内容啦。

$log_{a}N=x$等同于$a^{x}=N$。

那么有以下几个性质:

1. $a^{log_{a}N}=N$,将上面的两个等式代入即可证。

2.$log_{a}a=1$,因为$a^{1}=a$,即可证。

3.$log_{a}MN=log_{a}M+log_{a}N$

$M=a^{p},N=a^{q},MN=a^{p+q},log_{a}MN=p+q=log_{a}M+log_{a}N$

4. $log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M-log_{a}N$

$M=a^{p},N=a^{q},\frac{M}{N}=a^{p-q}$

$log_{a}\frac{M}{N}=p-q=log_{a}M-log_{a}N$

5.$log_{a}M^{n}=nlog_{a}M$,应用公式3变形,$2log_{a}M=log_{a}M^{2}$,逐步推即可。

6.有名的换底公式!$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

推导:设$log_{c}b=M,log{c}a=N$,则$b=c^{M},a=c^{N}$,则可以应用公式5来变形。

$log_{a}b=log_{c^{N}}c^{M}=log_{c^{N}}(c^{N})^{\frac{M}{N}}$

(接上面)$=\frac{M}{N}log_{c}c=\frac{M}{N}=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

7.  $log_{a}b \times log_{b}a = 1$

换底公式得$log_a{b}\times log_{b}a=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\times \frac{log_c{a}}{log_{c}b}=1$。

8. $log_{a^N}M=\frac{log_{a}M}{N}$

$log_{a^N}M=\frac{log_{c}M}{log_{c}{a^N}}=\frac{log_{c}M}{Nlog_{c}a}=\frac{log_{a}M}{N}$

由此可见,换底公式十分神奇!

对数学习完了,我来归纳下。

对数即为指数逆,颠倒指数加$log$。

对数相加真数乘,对数相减真数除。

自己对数即是1,换底公式要牢记。

上面是真下面底,同加一个$log_{c}$。

其他公式由此推,这些公式要牢记。

运用这些可以计算很多比较复杂的式子啦

=======华丽的分割线===========

对数函数。

先来对数的定义:一般的,如果$a^x=N(a>0,a≠1)$,那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数,记作$x=log_{a}N$,读作$a$为底$N$的对数,其中$a$叫做底数,$N$叫做真数。

一般的,函数$y=log_{a}x(a>0,a≠1)$叫做对数函数。也就是说指数为因变量,底数为常数,幂为自变量的函数。(百度百科上反了)

其中$x$是自变量,定义域为$(0,+\infty)$,实际上是指数函数的反函数,可以表示成$x=a^{y}$。

 

对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】(via 百度百科)

这个地方百度百科还是讲良心的,讲的很不错,看这个就能懂了。

注意:负数和0没有对数。

1.定义域求解:复合函数时需要注意底数$a$需满足$a>0且a≠1$,定义域为$(0,+\infty)$。

2.值域,实数集$R$。

3.定点、零点:$(1,0)$,很明显$a^0=1$,所以图像过定点$(1,0)$;同时零点也是$x=1$。

4. 非奇非偶函数,无周期性,无对称性,无最值。

5. 单调性:$a>1$,定义域上增函数;$0<a<1$,定义域上减函数。

【例】求对数函数$y=log_{a}\frac{1+x}{1-x}$单调性。

$\frac{1+x}{1-x}>0$,所以$(x+1)(x-1)<0$,解得$-1<x<1$。

$y=log_{a}\frac{1+x}{1-x}=log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$

分类讨论:

$a>1$时,$log_{a}(1+x)$递增,$log_{a}(1-x)$递减,那么$log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$为增函数(增-减=增)

$0<a<1$时,$log_{a}(1+x)$递减,$log_{a}(1-x)$递增,那么$log_{a}(1+x)-log_{a}(1-x)$为减函数(减-增=减)

 


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